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Enunciado

Cálculo - Michael Spivak - Calculo Em Variedades- Ed: 1º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 1

Demonstrar que:

||x|| <= sum_(i = 1)^n |x^i|

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Bom, deixemos que:

x = (x^1 , x^2 , x^3 , ... , x^n)

Façamos:

(sum_(i = 1)^n |x^i|)^2 = sum_(i = 1)^n (x^i)^2 + sum_i != j |x^i x^j|

Por que esse termo adicional? Vamos ver no próximo passo

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Usemos um exemplo numérico, com n = 2

(sum_(i = 1)^2 |x^i|)^2 = sum_(i = 1)^2 (x^i)^2 + sum_i != j |x^i x^j|

Colocando valores:

(x^1 + x^2)^2 = sum_(i = 1)^2 (x^(2 i))^1 + sum_i != j |x^i x^j|

(x^1 + x^2)^2 = x^2 + x^4 + sqrt((x^1 + x^2 + x^2 + x^1)^2)

x^2 + x^4 + 2 x^3 = x^2 + x^4 + 2 x^3

Veja que o termo adicional é verdadeiro na equação!!

Passo 3

Voltando, temos:

(sum_(i = 1)^n |x^i|)^2 = sum_(i = 1)^n (x^i)^2 + sum_i != j |x^i x^j|

Que obviamente:

sum_(i = 1)^n (x^i)^2 + sum_i != j |x^i x^j| >= sum_(i = 1)^n (x^i)^2

E que:

sum_(i = 1)^n (x^i)^2 = ||x||^2

Logo:

||x||^2 <= (sum_(i = 1)^2 |x^i|)^2

Basta tirar a raiz de ambos os lados e está provado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)