Demonstrar que entre todos os retângulos de área dada, o quadrado tem círculo inscrito mínimo.

Passo 1

Primeiramente, vamos desenhar a situação apresentada:

Dessa forma, a área do retângulo estará fixa e será:

A = x . y

Além disso, pelo triângulo retângulo, podemos escrever uma relação entre x, y e R:

2 R 2 = x 2 + y 2 → R 2 = ( x 2 + y 2 ) 4

Passo 2

Feito isso, podemos escrever o R em função de apenas uma das variáveis (tanto faz fazer para x ou para y, é análogo).

A = x . y → y = A x →   R 2 = x 2 + A 2 x 2   4 → R = 1 2 x 2 + A 2 x 2

Passo 3

Para que a medida do círculo seja mínima, podemos escrever a o comprimento da circunferência, derivar a ele em relação a x, depois igualar a zero para obter o ponto crítico de mínimo. Assim,

C = 2 π R → C = 2 π 1 2 x 2 + A 2 x 2 → C = π x 2 + A 2 x 2

Derivando,

C ' = π . 1 2 .   x 2 + A 2 x 2 - 1 2 . 2 x + A 2 . - 2 x 3 = π .   x 2 + A 2 x 2 - 1 2 . x + - A 2 x 3  

Igualando a zero,

C ' = π .   x 2 + A 2 x 2 - 1 2 . x + - A 2 x 3 = 0 →     x - A 2 x 3 = 0 → x 4 = A 2  

Como x e A são positivos,

x 4 = A 2 → A = x 2

Logo,

A = x 2 A = x . y → x = y

Sendo assim, provamos que para o retângulo ter círculo inscrito mínimo ele será um quadrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)