Demonstrar que entre todos os retângulos de área dada, o quadrado tem círculo inscrito mínimo.
Passo 1
Primeiramente, vamos desenhar a situação apresentada:

Dessa forma, a área do retângulo estará fixa e será:
Além disso, pelo triângulo retângulo, podemos escrever uma relação entre x, y e R:
Passo 2
Feito isso, podemos escrever o R em função de apenas uma das variáveis (tanto faz fazer para x ou para y, é análogo).
Passo 3
Para que a medida do círculo seja mínima, podemos escrever a o comprimento da circunferência, derivar a ele em relação a x, depois igualar a zero para obter o ponto crítico de mínimo. Assim,
Derivando,
Igualando a zero,
Como x e A são positivos,
Logo,
Sendo assim, provamos que para o retângulo ter círculo inscrito mínimo ele será um quadrado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)