Demonstrar que entre todos os retângulos que podem inscrever-se numa circunferência dada, o quadrado é o que tem área máxima.

Passo 1

Primeiramente, vamos desenhar a situação apresentada:

Dessa forma, a área do retângulo será:

A = x . y

Além disso, pelo triângulo retângulo, podemos escrever uma relação entre x e y:

2 R 2 = x 2 + y 2 → y 2 = 4 R 2 - x 2 → y = 4 R 2 - x 2

Passo 2

Feito isso, podemos escrever a área em função de apenas uma das variáveis (tanto faz fazer para x ou para y, é análogo).

A = x . y → A = x .   4 R 2 - x 2

Passo 3

Para maximizar a área do retângulo, podemos derivar a função área em relação a x e depois igualar a zero para obter o ponto crítico.

A = x .   4 R 2 - x 2 1 2

Derivando,

A ' = 1 .   4 R 2 - x 2 + x . 1 2 .   4 R 2 - x 2 - 1 2 .   - 2 x →

A ' = 4 R 2 - x 2 - x 2 4 R 2 - x 2   = 4 R 2 - x 2 - x 2 4 R 2 - x 2 = 4 R 2 - 2 x 2 4 R 2 - x 2

Igualando a zero,

A ' = 4 R 2 - 2 x 2 4 R 2 - x 2 = 0 → 4 R 2 - 2 x 2 = 0 → x 2 = 2 R 2

Passo 4

Utilizando a relação obtida no passo 1 e a obtida no passo 3, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

x 2 = 2 R 2 → x 2 = 2 . x 2 + y 2 4 → 2 x 2 = x 2 + y 2 → x 2 = y 2

Como x e y são positivos,

x 2 = y 2 → x = y

Logo, provamos que o retângulo inscrito numa circunferência que possui a maior área é um quadrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)