Demonstrar que la union cualquiera (tambien infinito) de conjuntos abiertos es abierto. Demonstrar que la interseccion de dos (y portanto de cualquier numero finito) de conjubtis abierto es abierto. Dar um contraejemplo para infinitos conjuntos abierto.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Certo... façamos x ∈ A 1 ∩ A 2 ⇒ x ∈ A 1 e x ∈ A 2 ou seja somente tomamos um x na união de dois conjuntos abertos, A 1 e A 2 .

E que:

x ∈ A 1 ⇒ ∃ a 1 , b 1 ; x ∈ a 1 , b 1 ⊂ A 1

Ou seja, o intervalo ( a 1 , b 1 ) é o intervalo do conjunto A 1 , onde contem o x, que, como já dito acima, faz parte do conjunto.

Similarmente:

x ∈ A 2 ⇒ ∃ a 2 , b 2 ; x ∈ a 2 , b 2 ⊂ A 2

Passo 2

Definamos:

a = max ⁡ { a 1 , a 2 }   e   b = min ⁡ b 1 , b 2

De modo que:

∴ a < x < b ⇔ x ∈ a , b ⊂ A 1 ∩ A 2

Assim, se x é pertence ao intervalo a 1 , b 1 ele é maior que a 1 e menor que b 1 e deda mesma forma para a 2 , b 2

Assim, definindo o a como o máximo desse intervalo, e b como o mínimo, obviamente x sera maior que qualquer a e menor e qualquer b.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)