4 * y'' + y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') + (1)/(4) y = 0

Façamos (1)/(4) = k^2

y^(' ') + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + k^2) = 0

lambda = +- i k

Logo (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(( i k ) x) + c_2 e^(( - i k ) x)

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

y (x) = c_1 (cos (k x) + i s e n (k x)) + c_2 (cos (k x) - i s e n (k x))

y (x) = (c_1 + c_2) cos (k x) + i (c_1 - c_2) s e n (k x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

y (x) = a cos (k x) + b s e n (k x)

Relembrando k^2 = (1)/(4) -> k = sqrt((1)/(4)) = (1)/(2)

y (x) = a cos ((x)/(2)) + b s e n ((x)/(2))

Resposta

y (x) = a cos ((x)/(2)) + b s e n ((x)/(2))

Onde a e b são determinados por PVI.