y'' - 1y' - 6y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Façamos: 1 = beta ; 6 = k^2

y^(' ') - beta y^' - k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda - k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) que beta = 1 ; k^2 = 6

Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) = (1)/(2) +- sqrt(((1)/(2))^2 + 6) . E Temos os valores lambda^+ = (1)/(2) + (5)/(2) e lambda^- = (1)/(2) - (5)/(2)

Logo:

y (x) = c_1 e^(( (1)/(2) + (5)/(2) ) x) + c_2 e^(( (1)/(2) - (5)/(2) ) x)

y (x) = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(2 x)

Resposta

y (x) = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(2 x)

Onde c_1 e c_2 são definidos por PVI.