y'' + 4y' - y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') + 4 y^' - 1 y = 0

Façamos 4 = beta ; 1 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') + beta y^' - k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + beta lambda - k^2) = 0

lambda = - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) que beta = 4 ; k^2 = 1

Logo: lambda = - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) = 2 +- sqrt(((4)/(2))^2 + 1) . Logo temos que lambda^+ = - 2 + sqrt(5) ; lambda^- = - 2 - sqrt(5)

Logo:

y (x) = c_1 e^(x (- 2 + sqrt(5))) + c_2 e^(- x (2 + sqrt(5)))

Resposta

y (x) = c_1 e^(x (- 2 + sqrt(5))) + c_2 e^(- x (2 + sqrt(5)))

Onde c_1 e c_2 são definidos por PVI.