3 * y'' + y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') + (1)/(3) y = 0

Fazendo (1)/(3) = k^2 (transformação que não faz diferença, mas nos ajuda a facilitar os cálculos)

Logo:

y^(' ') + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + k^2) = 0

Vemos que a solução resulta num número imaginário

lambda = +- i k

Logo (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(i k x) + c_2 e^(- i k x)

Passo 3

Lembrando a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi)

y (x) = c_1 (cos (k x) + i s e n (k x)) + c_2 (cos (pi) - i s e n (k x))

y (x) = (c_1 + c_2) cos (k x) + i (c_1 - c_2) s e n (k x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

y (x) = a cos (k x) + b s e n (k x)

Lembrando k^2 = (1)/(3) -> k = sqrt((1)/(3)) = (1)/(sqrt(3))

Logo:

y (x) = a cos ((x)/(sqrt(3))) + b s e n ((x)/(sqrt(3)))

Resposta

y (x) = a cos ((x)/(sqrt(3))) + b s e n ((x)/(sqrt(3)))

Onde a e b são determinados por PVI.