y^(' ') + 9 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo 9 = k^2 ((transformação que não faz diferença, mas nos ajuda a facilitar os cálculos)

Logo:

y^(' ') + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + k^2) = 0

Vemos que a solução resulta num número imaginário

lambda = +- i k

Logo (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(i k x) + c_2 e^(- i k x)

Passo 3

Lembrando a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi)

y (x) = c_1 (cos (k x) + i s e n (k x)) + c_2 (cos (pi) - i s e n (k x))

y (x) = (c_1 + c_2) cos (k x) + i (c_1 - c_2) s e n (k x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i = b

y (x) = a cos (k x) + b s e n (k x)

Relembrando k^2 = 9 -> k = sqrt(9) = 3

y (x) = a cos (3 x) + b s e n (3 x)

Resposta

y (x) = a cos (3 x) + b s e n (3 x)

Onde a e b são determinados por PVI.