y'' - 10y' + 25y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Façamos 10 = beta ; 25 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 10 ; k^2 = 2 5

Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = (10)/(2) +- sqrt(((10)/(2))^2 - 25) logo vemos que lambda^+ = lambda^- = 5

Logo

y (x) = c_1 e^(5 x) + c_2 e^(5 x)

y (x) = e^(5 x) (c_1 + c_2 x)

As os dois termos com c_1 e c_2 devem ser linearmente independentes, para torná-las desse modo, adicionamos a variável.

Resposta

y (x) = e^(5 x) (c_1 + c_2 x)

Onde c_1 e c_2 são definidos por PVI.