y'' + 8y' + 16y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Façamos 8 = beta ; 16 = k^2 (transformações que não fazem diferença mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') + beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = - (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = - (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 8 ; k^2 = 16

Logo: lambda = - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = - (8)/(2) +- sqrt(((8)/(2))^2 - 16) = - (8)/(2) +- 0 . E que lambda^+ = - 4 , lambda^- = - 4

y (x) = c_1 e^(- 4 x) + c_2 e^(- 4 x)

y (x) = e^(- 4 x) (c_1 + c_2 x)

As os dois termos com c_1 e c_2 devem ser linearmente independentes, para torná-las desse modo, adicionamos a variável.

Resposta

y (x) = e^(- 4 x) (c_1 + c_2 x)

Onde c_1 e c_2 são definidos por PVI.