y'' - 3y' + 2y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Façamos 3 = beta ; 2 = k^2 (transformações que não faze diferença mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 3 ; k^2 = 2

Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = (3)/(2) +- sqrt(((3)/(2))^2 - 2) = (3)/(2) +- (1)/(2) . E que lambda^+ = 2 , lambda^- = 1

Logo:

y (x) = c_1 e^(2 x) + c_2 e^(1 x)

Resposta

y (x) = c_1 e^(2 x) + c_2 e^(1 x)

Onde c_1 e c_2 são definidos por PVI.