y'' - 4y' + 5y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') - 4 y^' + 5 y = 0

Façamos 4 = beta ; 5 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 4 ; k^2 = 5

Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = 2 +- sqrt(((4)/(2))^2 - 5) vemos que:

sqrt(((4)/(2))^2 - 5) < 0

Logo: lambda in C

Assim:

lambda = 2 +- i sqrt(5 - ((4)/(2))^2) = 2 +- i 1

De modo que: lambda^+ = 2 + i 1 ; lambda^- = 2 - i 1

Assim:

y (x) = c_1 e^(x (2 + i)) + c_2 e^(x (2 - i))

y (x) = e^(2 x) (c_1 e^(i x) + c_2 e^(- i x))

Para (c_1 e^(i x) + c_2 e^(- i x)) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

c_1 (cos (x) + i s e n (x)) + c_2 (cos (x) - i s e n (x))

= (c_1 + c_2) cos (x) + i (c_1 - c_2) s e n (x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

= a cos (x) + b s e n (x)

Assim:

y (x) = e^(2 x) (a cos (x) + b s e n (x))

Resposta

y (x) = e^(2 x) (a cos (x) + b s e n (x))

Onde a e b são determinados por PVI.