y'' - 4y' + 5y = 0 Passo 1Faaaala, cara! Tranquileba? Temos que: y^(' ') - 4 y^' + 5 y = 0 Façamos 4 = beta ; 5 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos) y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0 Passo 2Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t) e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0 lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) Passo 3Logo temos a solução (chamemos a variável de x): y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x) Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 4 ; k^2 = 5 Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = 2 +- sqrt(((4)/(2))^2 - 5) vemos que: sqrt(((4)/(2))^2 - 5) < 0 Logo: lambda in C Assim: lambda = 2 +- i sqrt(5 - ((4)/(2))^2) = 2 +- i 1 De modo que: lambda^+ = 2 + i 1 ; lambda^- = 2 - i 1 Assim: y (x) = c_1 e^(x (2 + i)) + c_2 e^(x (2 - i)) y (x) = e^(2 x) (c_1 e^(i x) + c_2 e^(- i x)) Para (c_1 e^(i x) + c_2 e^(- i x)) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim: c_1 (cos (x) + i s e n (x)) + c_2 (cos (x) - i s e n (x)) = (c_1 + c_2) cos (x) + i (c_1 - c_2) s e n (x) Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b = a cos (x) + b s e n (x) Assim: y (x) = e^(2 x) (a cos (x) + b s e n (x)) Resposta y (x) = e^(2 x) (a cos (x) + b s e n (x)) Onde a e b são determinados por PVI. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA