y'' + 4y = 0

y(0) = 0; y(π) = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

y^(' ') + 4 y = 0

Façamos 4 = k^2

y^(' ') + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + k^2) = 0

lambda = +- i k

Logo (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(( i k ) x) + c_2 e^(( - i k ) x)

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

y (x) = c_1 (cos (k x) + i s e n (k x)) + c_2 (cos (k x) - i s e n (k x))

y (x) = (c_1 + c_2) cos (k x) + i (c_1 - c_2) s e n (k x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

y (x) = a cos (k x) + b s e n (k x)

Para achar a e b usemos as condições iniciais:

y (0) = 0 = a

y (pi) = 0 = a cos (k pi) + b s e n (k pi)

Lembrando k^2 = 4 -> k = sqrt(4) = 2

y (pi) = a cos (2 pi) + b s e n (2 pi) = a + 0 -> a = 0

E b fica uma valorl qualquer

Logo:

y (x) = b s e n ( 2 x )

Resposta

y (x) = b s e n ( 2 x )