y^(' ') - 2 y^' + 2 y = 0

y (0) = 1 ; y (pi) = 1

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

y^(' ') - 2 y^' + 2 y = 0

Façamos 2 = beta ; 2 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 2 ; k^2 = 2

Logo lambda = 1 +- sqrt(((2)/(2))^2 - 2)

Vemos que:

sqrt(((2)/(2))^2 - 2) < 0

Logo lambda in C

Assim:

lambda = 1 +- i sqrt(2 - 1)

lambda = 1 +- i

De modo que:

y (x) = c_1 e^(x (1 + i)) + c_2 e^(x (1 - i))

y (x) = e^x (c_1 e^(i x) + c_2 e^(- i x))

Para (c_1 e^(i x) + c_2 e^(- i x)) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

c_1 (cos (x) + i s e n (x)) + c_2 (cos (x) - i s e n (x))

(c_1 + c_2) cos (x) + i (c_1 - c_2) s e n (x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

a cos (x) + b s e n (x)

Para achar os valores de a e b usemos as condições iniciais dadas:

y (0) = 1 = a

y (pi) = 1 = - a

Vemos que a não existe, logo:

y (x) = e^x (b s e n (x))

Resposta

y (x) = e^x (b s e n (x))