3y'' + 2y' + y = 0 Passo 1Faaaala, cara! Tranquileba? Temos que: y^(' ') + (2)/(3) y^' + (1)/(3) y = 0 Façamos (2)/(3) = beta ; (1)/(3) = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos) y^(' ') + beta y^' + k^2 y = 0 Passo 2Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t) e^(lambda t) (lambda^2 + beta lambda + k^2) = 0 lambda = - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) Chamemos lambda^+ = - (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = - (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) Passo 3Logo temos a solução (chamemos a variável de x): y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x) Lembrando de – (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = (2)/(3) ; k^2 = (1)/(3) Temos que: sqrt(((2)/(6))^2 - (1)/(3)) < 0 Logo lambda in C Assim: lambda = - (beta)/(2) +- i sqrt(k^2 - ((beta)/(2))^2) lambda = - (1)/(3) +- i sqrt((1)/(3) - ((1)/(3))^2) E que: lambda^+ = - (1)/(3) + i (sqrt(2))/(3) ; lambda^- = - (1)/(3) - i (sqrt(2))/(3) De forma que: y (x) = c_1 e^(x (- (1)/(3) + i (sqrt(2))/(3))) + c_2 e^(- x ((1)/(3) + i (sqrt(2))/(3))) y (x) = e^(- (x)/(3)) (c_1 e^(i (x sqrt(2))/(3)) + c_2 e^(- i (x sqrt(2))/(3))) Para (c_1 e^(i (x sqrt(2))/(3)) + c_2 e^(- i (x sqrt(2))/(3))) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim: c_1 (cos (x (sqrt(2))/(3)) + i s e n (x (sqrt(2))/(3))) + c_2 (cos (x (sqrt(2))/(3)) - i s e n ( x (sqrt(2))/(3)) (c_1 + c_2) cos (x (sqrt(2))/(3)) + i (c_1 - c_2) s e n (x (sqrt(2))/(3)) Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i (c_1 - c_2) = b a cos (x (sqrt(2))/(3)) + b s e n (x (sqrt(2))/(3)) De modo que: y (x) = e^(- (x)/(3)) (a cos (x (sqrt(2))/(3)) + b s e n (x (sqrt(2))/(3))) Resposta y (x) = e^(- (x)/(3)) (a cos (x (sqrt(2))/(3)) + b s e n (x (sqrt(2))/(3))) Onde a e b são determinados por PVI. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA