2 y^(' ') - 3 y^' + 4 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') - (3)/(2) y^' + 2 y = 0

Façamos (3)/(2) = beta ; 2 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = (3)/(2) ; k^2 = 2

Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = (3)/(4) +- sqrt(((3)/(4))^2 - 2) vemos que:

(3)/(4) +- sqrt(((3)/(4))^2 - 2) < 0

Logo: lambda in C

Assim:

lambda = (3)/(4) +- i sqrt(2 - ((3)/(4))^2) = (3)/(4) +- i (sqrt(23))/(4)

De modo que: lambda^+ = (3)/(4) + i (sqrt(23))/(4) ; lambda^- = (3)/(4) - i (sqrt(23))/(4)

Assim:

y (x) = c_1 e^(x ((3)/(4) + i (sqrt(23))/(4))) + c_2 e^(x ((3)/(4) - i (sqrt(23))/(4)))

y (x) = e^((3 x)/(4)) (c_1 e^(i (x (sqrt(23))/(4))) + c_2 e^(i (- x (sqrt(23))/(4))))

Para c_1 e^(i (x (sqrt(23))/(4))) + c_2 e^(i (- x (sqrt(23))/(4))) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

c_1 (cos (x (sqrt(23))/(4)) + i s e n (x (sqrt(23))/(4))) + c_2 (cos (x (sqrt(23))/(4)) - i s e n (x (sqrt(23))/(4)))

( c_1 + c_2 ) cos (x (sqrt(23))/(4)) + i (c_1 - c_2) s e n (x (sqrt(23))/(4))

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

a cos (x (sqrt(23))/(4)) + b s e n (x (sqrt(23))/(4))

Portanto:

y (x) = e^((3 x)/(4)) (a cos (x (sqrt(23))/(4)) + b s e n (x (sqrt(23))/(4)))

Resposta

y (x) = e^((3 x)/(4)) (a cos (x (sqrt(23))/(4)) + b s e n (x (sqrt(23))/(4)))

Onde a e b são determinados por PVI.