2 y^(' ') - 3 y^' + 4 y = 0 Passo 1Faaaala, cara! Tranquileba? Temos que: y^(' ') - (3)/(2) y^' + 2 y = 0 Façamos (3)/(2) = beta ; 2 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos) y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0 Passo 2Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t) e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0 lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) Passo 3Logo temos a solução (chamemos a variável de x): y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x) Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = (3)/(2) ; k^2 = 2 Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) = (3)/(4) +- sqrt(((3)/(4))^2 - 2) vemos que: (3)/(4) +- sqrt(((3)/(4))^2 - 2) < 0 Logo: lambda in C Assim: lambda = (3)/(4) +- i sqrt(2 - ((3)/(4))^2) = (3)/(4) +- i (sqrt(23))/(4) De modo que: lambda^+ = (3)/(4) + i (sqrt(23))/(4) ; lambda^- = (3)/(4) - i (sqrt(23))/(4) Assim: y (x) = c_1 e^(x ((3)/(4) + i (sqrt(23))/(4))) + c_2 e^(x ((3)/(4) - i (sqrt(23))/(4))) y (x) = e^((3 x)/(4)) (c_1 e^(i (x (sqrt(23))/(4))) + c_2 e^(i (- x (sqrt(23))/(4)))) Para c_1 e^(i (x (sqrt(23))/(4))) + c_2 e^(i (- x (sqrt(23))/(4))) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim: c_1 (cos (x (sqrt(23))/(4)) + i s e n (x (sqrt(23))/(4))) + c_2 (cos (x (sqrt(23))/(4)) - i s e n (x (sqrt(23))/(4))) ( c_1 + c_2 ) cos (x (sqrt(23))/(4)) + i (c_1 - c_2) s e n (x (sqrt(23))/(4)) Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b a cos (x (sqrt(23))/(4)) + b s e n (x (sqrt(23))/(4)) Portanto: y (x) = e^((3 x)/(4)) (a cos (x (sqrt(23))/(4)) + b s e n (x (sqrt(23))/(4))) Resposta y (x) = e^((3 x)/(4)) (a cos (x (sqrt(23))/(4)) + b s e n (x (sqrt(23))/(4))) Onde a e b são determinados por PVI. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA