y^(' ') + y = 0

y^' (0) = 0 ; y^' ((pi)/(2)) = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') + 1 y = 0

Façamos 1 = k^2

y^(' ') + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + k^2) = 0

lambda = +- i k

Logo (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(( i k ) x) + c_2 e^(( - i k ) x)

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

y (x) = c_1 (cos (k x) + i s e n (k x)) + c_2 (cos (k x) - i s e n (k x))

y (x) = (c_1 + c_2) cos (k x) + i (c_1 - c_2) s e n (k x)

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

y (x) = a cos (k x) + b s e n (k x)

Para achar a e b usemos as condições iniciais:

y^' (0) = 0 = b k -> b = 0

y^' ((pi)/(2)) = 0 = b k cos ((k pi)/(2))

Lembrando k^2 = 1 -> k = sqrt(1) = 1

y^' ((pi)/(2)) = 0 = 0 xx 0 = 0

E temos a como um valor qualquer.

Logo:

y (x) = a c o s ( x )

Resposta

y (x) = a c o s ( x )