y^(' ') + y = 0 y^' (0) = 0 ; y^' ((pi)/(2)) = 0 Passo 1Faaaala, cara! Tranquileba? Temos que: y^(' ') + 1 y = 0 Façamos 1 = k^2 y^(' ') + k^2 y = 0 Passo 2Fazendo y = e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t) e^(lambda t) (lambda^2 + k^2) = 0 lambda = +- i k Logo (chamemos a variável de x): y (x) = c_1 e^(( i k ) x) + c_2 e^(( - i k ) x) Passo 3usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim: y (x) = c_1 (cos (k x) + i s e n (k x)) + c_2 (cos (k x) - i s e n (k x)) y (x) = (c_1 + c_2) cos (k x) + i (c_1 - c_2) s e n (k x) Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b y (x) = a cos (k x) + b s e n (k x) Para achar a e b usemos as condições iniciais: y^' (0) = 0 = b k -> b = 0 y^' ((pi)/(2)) = 0 = b k cos ((k pi)/(2)) Lembrando k^2 = 1 -> k = sqrt(1) = 1 y^' ((pi)/(2)) = 0 = 0 xx 0 = 0 E temos a como um valor qualquer. Logo: y (x) = a c o s ( x ) Resposta y (x) = a c o s ( x ) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA