2 * y'' + 2 * y' + y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') + 1 y^' + (1)/(2) y = 0

Façamos 1 = beta ; (1)/(2) = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') + beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 + beta lambda + k^2) = 0

lambda = - (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = - (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = - (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de – (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 1 ; k^2 = (1)/(2)

Temos que:

sqrt(((1)/(2))^2 - 1 // 2) < 0

Logo lambda in C

Assim:

lambda = - (beta)/(2) +- i sqrt(k^2 - ((beta)/(2))^2)

lambda = - (1)/(2) +- i sqrt((1)/(2) - ((1)/(2))^2)

E que: lambda^+ = - (1)/(2) + i (1)/(2) ; lambda^- = - (1)/(2) - i (1)/(2)

De forma que:

y (x) = c_1 e^(x (- (1)/(2) + i (1)/(2))) + c_2 e^(- x ((1)/(2) + i (1)/(2)))

y (x) = e^(- (x)/(2)) (c_1 e^(i (x)/(2)) + c_2 e^(- i (x)/(2)))

Para (c_1 e^(i (x)/(2)) + c_2 e^(- i (x)/(2))) usemos a relação de Euler- De Moivre: e^(i pi) = cos (pi) + i s e n (pi) . Assim:

c_1 (cos ((x)/(2)) + i s e n ((x)/(2))) + c_2 (cos ((x)/(2)) - i s e n ((x)/(2)))

(c_1 + c_2) cos ((x)/(2)) + i (c_1 - c_2) s e n ((x)/(2))

Fazendo (c_1 + c_2) = a ; i ( c_1 - c_2 ) = b

a cos ((x)/(2)) + b s e n ((x)/(2))

Portanto:

y (x) = e^(- (x)/(2)) (a cos ((x)/(2)) + b s e n ((x)/(2)))

Resposta

y (x) = e^(- (x)/(2)) (a cos ((x)/(2)) + b s e n ((x)/(2)))

Onde a e b são determinados por PVI.