Enunciado

2 y ' ' - 3 y ' + 4 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y ' ' - 3 2   y ' + 2 y = 0

Façamos 3 2 = β ;   2 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ + k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 3 2 ;     k 2 = 2

Logo: λ =   β 2 ± β 2 2 - k 2 = 3 4 ± 3 4 2 - 2 vemos que:

3 4 ± 3 4 2 - 2 < 0

Logo: λ ∈ C

Assim:

λ = 3 4 ± i 2 - 3 4 2 = 3 4 ± i 23 4

De modo que: λ + = 3 4 + i 23 4 ;     λ - = 3 4 - i 23 4

Assim:

y x = c 1 e x 3 4 + i 23 4 + c 2 e x 3 4 - i 23 4

y x = e 3 x 4 c 1 e i x 23 4 + c 2 e i - x 23 4

Para c 1 e i x 23 4 + c 2 e i - x 23 4   usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

c 1 cos ⁡ x 23 4 + i   s e n x 23 4 + c 2 cos ⁡ x 23 4 - i   s e n x 23 4

( c 1 + c 2 ) cos ⁡ x 23 4 + i c 1 - c 2   s e n x 23 4

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

a cos ⁡ x 23 4 + b   s e n x 23 4

Portanto:

y x = e 3 x 4 a cos ⁡ x 23 4 + b   s e n x 23 4

Resposta

y x = e 3 x 4 a cos ⁡ x 23 4 + b   s e n x 23 4

Onde a e b   são determinados por PVI.

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