Enunciado

y ' ' - 10 y ' + 25 y = 0 ,

y 0 = 1 ;     y ' 0 = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

y ' ' - 10 y ' + 25 y = 0

Façamos 10 = β ;   25 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ + k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 10 ;     k 2 = 2 5

Logo λ = 5 ± 10 2 2 - 25 , assim temos que λ + = λ - = 5

De forma que:

y x = c 1 e 5 x + c 2 e 5 x

y x = e 5 x ( c 1 + c 2 )

Encontramos um problema, pois c 1 e λ + x + c 2 e λ - x devem consistir de duas partes que são linearmente independentes, assim adicionamos uma variável, ficando:

y x = e 5 x c 1 + c 2 x  

Achemos c 1 e   c 2 pelas condições iniciais:

y 0 = 1 = c 1

y ' 0 = 0 = 5 c 2 → c 2 = 0

Assim:

y x = e 5 x ( c 1 )

Resposta

y x = e 5 x ( c 1 )