y'' - 10y' + 25y = 0

y(0) = 1; y'(0) = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

y^(' ') - 10 y^' + 25 y = 0

Façamos 10 = beta ; 25 = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' + k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda + k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 - k^2) que beta = 10 ; k^2 = 2 5

Logo lambda = 5 +- sqrt(((10)/(2))^2 - 25) , assim temos que lambda^+ = lambda^- = 5

De forma que:

y (x) = c_1 e^(5 x) + c_2 e^(5 x)

y (x) = e^(5 x) ( c_1 + c_2 )

Encontramos um problema, pois c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x) devem consistir de duas partes que são linearmente independentes, assim adicionamos uma variável, ficando:

y (x) = e^(5 x) (c_1 + c_2 x)

Achemos c_1 e c_2 pelas condições iniciais:

y (0) = 1 = c_1

y^' (0) = 0 = 5 c_2 -> c_2 = 0

Assim:

y (x) = e^(5 x) ( c_1 )

Resposta

y (x) = e^(5 x) ( c_1 )