Enunciado

y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0

y 0 = 1 ;     y π = 1

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0

Façamos 2 = β ;   2 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ + k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 2 ;     k 2 = 2

Logo λ = 1 ± 2 2 2 - 2

Vemos que:

2 2 2 - 2 < 0

Logo λ ∈ C

Assim:

λ = 1 ± i 2 - 1

λ = 1 ± i

De modo que:

y x = c 1 e x 1 + i + c 2 e x 1 - i

y x = e x c 1 e i x + c 2 e - i x

Para c 1 e i x + c 2 e - i x   usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

c 1 cos ⁡ x + i   s e n x + c 2 cos ⁡ x - i   s e n x

c 1 + c 2 cos ⁡ x + i c 1 - c 2   s e n x

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

a cos ⁡ x + b   s e n x

Para achar os valores de a e b usemos as condições iniciais dadas:

y 0 = 1 = a

y π = 1 = - a

Vemos que a não existe, logo:

y x = e x b   s e n x

Resposta

y x = e x b   s e n x

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