Enunciado

y ' ' - 10 y ' + 25 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Façamos 10 = β ;     25 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ + k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 - k 2   que β = 10 ;     k 2 = 2 5

Logo: λ =   β 2 ± β 2 2 - k 2 = 10 2 ± 10 2 2 - 25 logo vemos que λ + = λ - = 5

Logo

y x = c 1 e 5 x + c 2 e 5 x

y x = e 5 x c 1 + c 2 x

As os dois termos com c 1 e c 2 devem ser linearmente independentes, para torná-las desse modo, adicionamos a variável.

Resposta

y x = e 5 x c 1 + c 2 x

Onde c 1 e c 2 são definidos por PVI.

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