12 * y'' - 5 * y' - 2 * y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y^(' ') - (5)/(12) y^' - (2)/(12) y = 0

Façamos (5)/(12) = beta ; (2)/(12) = k^2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y^(' ') - beta y^' - k^2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e^(lambda t) ; y^' = lambda e^(lambda t) ; y^(' ') = lambda^2 e^(lambda t)

e^(lambda t) (lambda^2 - beta lambda - k^2) = 0

lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2)

Chamemos lambda^+ = (beta)/(2) + sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) , e lambda^- = (beta)/(2) - sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2)

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y (x) = c_1 e^(lambda^+ x) + c_2 e^(lambda^- x)

Lembrando de (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) que beta = (5)/(12) ; k^2 = (2)/(12)

Logo: lambda = (beta)/(2) +- sqrt(((beta)/(2))^2 + k^2) = (5)/(24) +- sqrt(((5)/(24))^2 + (2)/(12)) = (5)/(24) +- (11)/(24) , logo lambda^+ = (2)/(3) e lambda^- = - (1)/(4)

Logo:

y (x) = c_1 e^((2 x)/(3)) + c_2 e^(- (x)/(4))

Resposta

y (x) = c_1 e^((2 x)/(3)) + c_2 e^(- (x)/(4))

Onde c_1 e c_2 são definidos por PVI.