Enunciado

12 y ' ' - 5 y ' - 2 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y ' ' - 5 12   y ' - 2 12   y = 0

Façamos 5 12 = β ;   2 12 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' - k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ - k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 + k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 + k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 + k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 + k 2   que β = 5 12 ;     k 2 = 2 12

Logo: λ =   β 2 ± β 2 2 + k 2 = 5 24 ± 5 24 2 + 2 12 = 5 24 ± 11 24 , logo λ + = 2 3 e λ - = - 1 4

Logo:

y x = c 1 e 2 x 3 + c 2 e -   x 4

Resposta

y x = c 1 e 2 x 3 + c 2 e -   x 4

Onde c 1 e c 2 são definidos por PVI.

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