Enunciado

Descreva o maior conjunto aberto no qual o Teorema 13.3.2 possa ser usado para provar que f x y e f y x são iguais naquele conjunto. Então, confirme que f x y   =   f y x naquele conjunto por cálculo direto.

( a ) f   ( x ,   y )   = x 2   +   y 2 - 1

Passo 1

Vamos para mais um exercícios.O Teorema 13.3.2 diz “Seja f uma função de duas variáveis. Se f x y e f y x forem contínuas em algum disco aberto, então f x y   =   f y x nesse disco.”

Passo 2

Vamos começar fazendo f x y , para isso vamos derivar primeiro em y e depois em x .

f x y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:

u =   x 2   +   y 2 - 1

f   ( u )   = u

Temos:

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 y 2 u = ∂ ∂ x y u = - 1 2 y u - 3 2 * 2 x = - x y ( x 2   +   y 2 - 1 ) - 3 2

Assim chegamos que o maior conjunto aberto é - x y x 2   +   y 2 - 1 - 3 2

x ≠ 0 ; y ≠ 0 ;

Passo 3

Agora vamos provar que f x y   =   f y x , para isso vamos fazer f y x , derivando primeiro em x e depois em y .

f y x = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:

u =   x 2   +   y 2 - 1

f   ( u )   = u

Assim, temos:

f y x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 2 x 2 u = ∂ ∂ y x u = - 1 2 x u - 3 2 * 2 y = - x y ( x 2   +   y 2 - 1 ) - 3 2

f y x = - x y ( x 2   +   y 2 - 1 ) - 3 2

Ok! Chegamos que f x y   =   f y x

Resposta

- x y x 2   +   y 2 - 1 - 3 2

x ≠ 0 ; y ≠ 0 ;

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in
Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios