Enunciado

Descreva o maior conjunto aberto no qual o Teorema 13.3.2 possa ser usado para provar que f x y e f y x são iguais naquele conjunto. Então, confirme que f x y   =   f y x naquele conjunto por cálculo direto.

( b )   f   ( x ,   y )   =   s e n   ( x 2   +   y 3 )

Passo 1

Vamos para mais um exercícios.O Teorema 13.3.2 diz “Seja f uma função de duas variáveis. Se f x y e f y x forem contínuas em algum disco aberto, então f x y   =   f y x nesse disco.”

Passo 2

Vamos começar fazendo f x y , para isso vamos derivar primeiro em y e depois em x .

f x y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:

u = x 2   +   y 3

f   u = s e n   u

Temos:

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 3 y c o s ( u ) = - 3 y s e n ( u ) * 2 x = - 6 x y s e n ( x 2   +   y 3 )

Assim chegamos que o maior conjunto aberto é

- 6 x y s e n ( x 2   +   y 3 )

Passo 3

Agora vamos provar que f x y   =   f y x , para isso vamos fazer f y x , derivando primeiro em x e depois em y .

f y x = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:

u = x 2   +   y 3

f   u = s e n   u

Assim, temos:

f y x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 2 x c o s ( u ) = - 2 x s e n ( u ) * 3 y = - 6 x y s e n ( x 2   +   y 3 )

f y x = - 6 x y s e n ( x 2   +   y 3 )

Ok! Chegamos que f x y   =   f y x

Resposta

- 6 x y s e n ( x 2   +   y 3 )

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