Descreva o maior conjunto aberto no qual o Teorema 13.3.2 possa ser usado para provar que e são iguais naquele conjunto. Então, confirme que naquele conjunto por cálculo direto.
Passo 1
Vamos para mais um exercícios.O Teorema 13.3.2 diz “Seja f uma função de duas variáveis. Se e forem contínuas em algum disco aberto, então nesse disco.”
Passo 2
Vamos começar fazendo , para isso vamos derivar primeiro em e depois em .
Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:
Temos:
Assim chegamos que o maior conjunto aberto é
Passo 3
Agora vamos provar que , para isso vamos fazer , derivando primeiro em e depois em .
Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:
Assim, temos:
Ok! Chegamos que