Desenhe um campo de direções para a equação diferencial y' = t * e^(-2t) - 2y . Baseado no campo de direções , determine o comportamento de y quando t → ∞ . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0 . Descreva essa dependência.

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Antes de resolver essa questão vamos só lembrar de um detalhe. Beleza!

O campo de direções é o gráfico resultante quando traçamos a inclinação dos valores correspondendo com nossa equação diferencial. Em nosso caso a equação:

y ' = t e - 2 t - 2 y

Então vamos traçar o gráfico para y variando de [ 4   , - 4 ] e t variando de [ 0 ,   8 ] .

(Esses valores são suficiente para formar nosso campo de direção)

Quando traçarmos o gráfico resultante será:

Passo 2

Para analisar o comportamento da equação diferencial dada no exercício basta apenas observar o campo de direção já traçado anteriormente.

Ao observar seu comportamento analisamos que todos os valores de y estão a assíntota ( se aproximando) do zero. Ou seja

y ' = t e - 2 t - 2 y

y → 0

Independente do valor de t

Acabamos por aqui!

Te vejo na próxima questão.

Resposta

i 1 = 6,73   A

i 2 = 4,6   A

V = 12 ,   22   V