Determinantes e retas Mostre que as retas

x = a_1 * s + b_1, y = a_2 * s + b_2, z = a_3 * s + b_3, -∞ < s < ∞

e

x = c1 * t + d1, y = c2 * t + d2, z = c3 * t + d3, -∞ < t < ∞

se cruzam e são paralelas se, e somente se,

| a₁ + c₁ + b₁ - d₁ |

| a2 + c2 + b2 - d2 = 0

| a₃ c₃ b₃ - d₃ |

Passo 1

Fala, galera! Como é que vai?

Nessa questão, temos que mostrar que se A é verdadeira se, e somente se, B for verdadeira também. Para isso, temos que mostrar a “ida” e a “volta”, ou seja, mostrar que A implica B e que B implica A. Nesse caso, A seria a afirmação que as duas retas são paralelas ou se cruzam e B seria a afirmação que o determinante é nulo. Então, bora lá!

Passo 2

Quando duas retas são paralelas, quer dizer que os seus vetores diretores são paralelos. Para as retas do enunciado, os vetores diretores são v → 1 = ( a 1 , a 2 , a 3 ) e v → 2 = ( c 1 , c 2 , c 3 ) . Se esses vetores forem paralelos, quer dizer que eles são linearmente dependentes e o determinante de vetores L. D. é zero.

O outro caso é se as retas se cruzarem. Para isso acontecer, devemos ter

x : a 1 s + b 1 = c 1 t + d 1

y : a 2 s + b 2 = c 2 t + d 2

z : a 3 s + b 3 = c 3 t + d 3

É difícil resolver as equações acima sem ter os valores das constantes, então vamos supor que s = t = 0 quando as retas se cruzam. Então, b 1 = d 1 , b 2 = d 2 e b 3 = d 3 . Assim, o vetor ( b 1 - d 1 ,   b 2 - d 2 ,   b 3 - d 3 ) = 0 . Quando temos um vetor nulo no determinante, o determinante é automaticamente zero.

Passo 3

Agora temos que mostrar que se o determinante for nulo, então as retas são paralelas ou se cruzam. Tem duas formas do determinante ter valor zero: se os vetores forem L. D. ou se um deles for o vetor nulo. No primeiro caso, considerando que os vetores sejam L.D., então v → 1 = ( a 1 , a 2 , a 3 ) e v → 2 = ( c 1 , c 2 , c 3 ) são paralelos e as retas são paralelas. No segundo caso, como os vetores diretores das retas não podem ser nulos, então só podemos ter ( b 1 - d 1 ,   b 2 - d 2 ,   b 3 - d 3 ) = 0 . Mas, se isso for verdade, então as duas retas se cruzam quando s = t = 0 .

Espero que tenham gostado dessa resolução. Eu me despeço por aqui.

Resposta

Veja a resolução acima.