Determinantes e retas Mostre que as retas
e
se cruzam e são paralelas se, e somente se,
Passo 1
Fala, galera! Como é que vai?
Nessa questão, temos que mostrar que se A é verdadeira se, e somente se, B for verdadeira também. Para isso, temos que mostrar a “ida” e a “volta”, ou seja, mostrar que A implica B e que B implica A. Nesse caso, A seria a afirmação que as duas retas são paralelas ou se cruzam e B seria a afirmação que o determinante é nulo. Então, bora lá!
Passo 2
Quando duas retas são paralelas, quer dizer que os seus vetores diretores são paralelos. Para as retas do enunciado, os vetores diretores são e . Se esses vetores forem paralelos, quer dizer que eles são linearmente dependentes e o determinante de vetores L. D. é zero.
O outro caso é se as retas se cruzarem. Para isso acontecer, devemos ter
É difícil resolver as equações acima sem ter os valores das constantes, então vamos supor que quando as retas se cruzam. Então, , e . Assim, o vetor . Quando temos um vetor nulo no determinante, o determinante é automaticamente zero.
Passo 3
Agora temos que mostrar que se o determinante for nulo, então as retas são paralelas ou se cruzam. Tem duas formas do determinante ter valor zero: se os vetores forem L. D. ou se um deles for o vetor nulo. No primeiro caso, considerando que os vetores sejam L.D., então e são paralelos e as retas são paralelas. No segundo caso, como os vetores diretores das retas não podem ser nulos, então só podemos ter . Mas, se isso for verdade, então as duas retas se cruzam quando .
Espero que tenham gostado dessa resolução. Eu me despeço por aqui.
Resposta
Veja a resolução acima.