Determinar f'(a) para a = 1, 2, 4, e 7 .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Bora identificar nossos pontos olhando para o gráfico, e usar a relação para determinar nossas derivadas:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

Para a = 1 e a = 2 :

a = 1 -> f (a) = 1

a = 2 -> f (a) = 1

Observe que temos uma reta entre os pontos x = 0 e x = 3 .

Podemos escrever a nossa equação da reta da seguinte forma:

f (x) = m x + b

m e b são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) (f (1 + h) - f (1))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((m (1 + h) + b) - (1 m + b))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m + m h + b - m - b)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (m h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) m = m

Agora temos que encontrar o valor desta constante:

Escrevendo a equação dessa reta:

f (x) = m x + b

{[[0,m,+,b,=,1],[3,m,+,b,=,1]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m = 0 e b = 1 e a equação da reta fica:

f (x) = 1

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) m = underset(h -> 0)(lim) 0 = 0

E isso também é válido para a = 2 .

f^' (2) = underset(h -> 0)(lim) m = underset(h -> 0)(lim) 0 = 0

f^' (1) = f^' (2) = 0

Passo 2

Para a = 4 :

Agora vamos observar mais uma coisinha: entre x = 3 e x = 5 nós também temos uma reta. Vamos repetir o procedimento do passo anterior.

Podemos escrever a nossa equação da reta da seguinte forma:

f (x) = m x + b

m e b são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (4) = underset(h -> 0)(lim) (f (4 + h) - f (4))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((m (4 + h) + b) - (4 m + b))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (4 m + m h + b - 4 m - b)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (m h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) m = m

Agora temos que encontrar o valor desta constante:

Escrevendo a equação dessa reta:

f (x) = m x + b

{[[3,m,+,b,=,1],[5,m,+,b,=,2]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m = (1)/(2) e b = - (1)/(2) e a equação da reta fica:

f (x) = (1)/(2) x - (1)/(2)

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (4) = underset(h -> 0)(lim) (1)/(2) = (1)/(2)

a = 4 -> f^' (4) = (1)/(2)

Passo 3

Calma que tá acabando, hehehhe...

Para a = 7 :

O ponto a = 7 se localiza numa parábola, em seu ponto de máximo.

A equação da parábola pode ser escrita como:

f (x) = m x^2 + b x + c

m , b e c são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (7) = underset(h -> 0)(lim) (f (7 + h) - f (7))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((m (7 + h)^2 + b (7 + h) + c) - (49 m + 7 b + c))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m (h^2 + 14 h + 49) + 7 b + b h + c - 49 m - 7 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 14 m h + 49 m + 7 b + b h + c - 49 m - 7 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 14 m h + b h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) m h + 14 m + b = 14 m + b

Agora temos que encontrar o valor das constantes m e b :

Escrevendo a equação dessa parábola:

f (x) = m x^2 + b x + c

{[[25,m,+,5,b,+,c,=,2],[81,m,+,9,b,+,c,=,2],[49,m,+,7,b,+,c,tildetilde,4,5]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m tildetilde - 0,625 , b tildetilde 8,75 e c tildetilde - 26,125 e a equação da parábola fica:

f (x) tildetilde - 0,625 x^2 + 8,75 x - 26,125

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (7) tildetilde 14 m + b tildetilde 14 (- 0,625) + 8,75 tildetilde 8,75 - 8,75 tildetilde 0

a = 7 -> f^' (7) tildetilde 0

Ufa!!!

Resposta

Para a = 1 -> f^' (1) = 0 ;

Para a = 2 -> f^' (2) = 0 ;

Para a = 4 -> f^' (4) = (1)/(2) ;

Para a = 7 -> f^' (7) tildetilde 0 .