Determinar as dimensões do cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone circular reto de raio R e altura H.

Passo 1

Fala pessoal, blz? O primeiro passo para questões envolvendo maximizar ou minimizar áreas ou volumes de duas figuras relacionadas sempre é achar o vínculo geométrico entre as duas figuras.

Nessa questão nós temos um cilindro circular reto dentro de um cone circular reto. Difícil de imaginar? Com certeza, mas o bizu nessas questões não é ficar desenhando o problema em 3D ou perdendo muito tempo imaginando como que fica as relações em 3D. A forma mais rápida e fácil de enxergar os vínculos geométricos em questões assim é fazendo a vista lateral.

Como é a vista lateral de um cilindro circular reto? É um retângulo. Com a altura sendo o comprimento desse retângulo e a largura do retângulo sendo 2 vezes o raio da base.

Como é a vista lateral de um cone circular reto? É um triângulo isósceles. Como as geratrizes (parte inclinada) são iguais nos dois lados, o triângulo da vista lateral será isósceles. Além disso, a base do triângulo valerá 2 vezes o raio da base do cone.

Pronto, agora que já sabemos a vista lateral dos dois, como o cilindro está inscrito no cone (cilindro dentro do cone), é só imaginar o retângulo (vista lateral do cilindro) dentro do triângulo (vista lateral do cone).

Assim, podemos desenhar a vista lateral do problema, chamando a altura e o raio do cone de H e R, e a altura e o raio do cilindro de h e r, temos:

A partir disso, podemos achar o vínculo geométrico da questão enxergando que os triângulos ABC e ADE são triângulos semelhantes, assim:

H - h r = H R → R H - h R = H r → h = H R - H r R

Passo 2

Agora que já temos o vínculo geométrico entre as figuras, temos que pensar em maximizar o volume do cilindro. Para isso, basta derivarmos a expressão do volume e igualar ele a zero para acharmos os pontos críticos da equação. Por fim, vamos testar pra ver se os pontos críticos são máximos ou mínimos.

Volume do um cilindro:

V c i l i n d r o = A b a s e . h = π r 2 h

Deixando em função de apenas uma variável (usando o vínculo geométrico):

V c i l i n d r o = π r 2 H R - H r R → V = π r 2 H - π H r 3 R

Derivando em função de r:

d V d r = 2 π H r - 3 π H r 2 R

Igualando a zero para encontrarmos o volume máximo:

d V d r = 2 π H r - 3 π H r 2 R = 0 →   3 π H r 2 R = 2 π H r → r = 2 R 3

Passo 3

Tendo r para que o volume seja máximo, basta jogarmos no vínculo geométrico para achar o h. Assim:

h = H r - H R R → h = H R - H . 2 R 3 R = H - 2 H 3 → h = H 3

Passo 4

Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto máximo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.

Relembrando,

Primeira derivada = 0 🡪 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.

Segunda derivada > 0 🡪 Função convexa (concavidade pra cima) 🡪 Ponto de mínimo.

Segunda derivada

Segunda derivada = 0 🡪 Ponto de inflexão 🡪 Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.

Assim, fazendo a segunda derivada da função,

d V d r = 2 π H r - 3 π H r 2 R → V ' ' =   2 π H - 6 π H r R →   V ' ' = 2 π H - 6 π H 2 3 R R =   2 π H -   4 π H

V ' ' = - 2 π H < 0 → P o n t o   d e   m á x i m o

Sendo assim, provamos que o ponto encontrado realmente é o ponto onde a função volume é máxima.

Resposta

r = 2 R 3   e   h = H 3