Determinar uma estimativa para f' (6) .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Bora identificar nossos pontos olhando para o gráfico, e usar a relação para determinar nossas derivadas:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

Passo 2

Para a = 6 :

O ponto a = 6 se localiza numa parábola.

A equação da parábola pode ser escrita como:

f (x) = m x^2 + b x + c

m , b e c são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (6) = underset(h -> 0)(lim) (f (6 + h) - f (6))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((m (6 + h)^2 + b (6 + h) + c) - (36 m + 6 b + c))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m (h^2 + 1 2 h + 36) + 6 b + b h + c - 36 m - 6 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 1 2 m h + 36 m + 6 b + b h + c - 36 m - 6 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 1 2 m h + b h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) m h + 1 2 m + b = 1 2 m + b

Agora temos que encontrar o valor das constantes m e b :

Escrevendo a equação dessa parábola:

f (x) = m x^2 + b x + c

{[[25,m,+,5,b,+,c,=,2],[81,m,+,9,b,+,c,=,2],[36,m,+,6,b,+,c,tildetilde,3,8]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m tildetilde - 0,6 , b tildetilde 8 , 4 e c tildetilde - 25 e a equação da parábola fica:

f (x) tildetilde - 0,6 x^2 + 8 , 4 x - 2 5

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (6) tildetilde 1 2 m + b tildetilde 1 2 (- 0,6) + 8 , 4 tildetilde - 7,2 + 8,4 tildetilde 1,2

a = 6 -> f^' (6) tildetilde 1,2

Ufa!!!

Resposta

Para a = 6 -> f^' (6) tildetilde 1,2 .