Determinar f^' (x) se f (x) é a função que se indica:

11) f (x) = (2 - sin x)/(2 - cos x)

Passo 1

O primeiro passo, é relembrar a regra das derivadas:

(ⅆ)/(ⅆ x) ((f)/(g)) = ((ⅆ)/(ⅆ x) (f) * g - f * (ⅆ)/(ⅆ x) (g))/(g^2)

Aplicando-a a essa equação, temos:

((ⅆ)/(ⅆ x) (2 - s i n ( x )) * (2 - c o s ( x )) - (2 - s i n ( x )) * (ⅆ)/(ⅆ x) (2 - c o s ( x )))/((2 - c o s ( x ))^2)

Passo 2

Lembrando que a derivada do seno de uma variável é igual ao cosseno dessa variável, e que a derivada do cosseno de uma variável é igual a menos o seno dessa variável. Além da regra básica que determina que a derivada de uma constante sempre é 0.

E relembrando a regra de derivação da soma:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f + g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) + (ⅆ)/(ⅆ x) (g)

Temos:

(- cos (x) (2 - cos (x)) - (2 - sin (x)) (- (- sin (x))))/((2 - cos (x))^2)

Passo 3

Simplificando a equação acima, temos:

(- 2 cos (x) + 1 - 2 sin (x))/((2 - cos (x))^2)

Uma outra forma de escrevê-la é:

- (1 - 2 (sin (x) + cos (x)))/((2 - cos (x))^2)

Resposta

A resposta da derivada acima, é:

(- 2 cos (x) + 1 - 2 sin (x))/((2 - cos (x))^2)

Ou

- (1 - 2 (sin (x) + cos (x)))/((2 - cos (x))^2)