Determinar f'(x) se f(x) é a função que se indica:

12) f(x) = x * sen(x) / (1 + x^2)

Passo 1

O primeiro passo, é relembrar a regra das derivadas:

(ⅆ)/(ⅆ x) ((f)/(g)) = ((ⅆ)/(ⅆ x) (f) * g - f * (ⅆ)/(ⅆ x) (g))/(g^2)

Aplicando-a a essa equação, temos:

((ⅆ)/(ⅆ x) (x s i n ( x )) * (1 + x^2) - (x s i n ( x )) * (ⅆ)/(ⅆ x) (1 + x^2))/((1 + x^2)^2)

Passo 2

Nesse passo, é importante relembrar algumas regras de derivação:

Lembrando das regras da derivada do produto:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f xx g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) xx g + f xx (ⅆ)/(ⅆ x) (g) ;

(ⅆ)/(ⅆ x) (a xx f) = a xx (ⅆ)/(ⅆ x) (f)

E,

(ⅆ)/(d x) (x^n) = n * x^(n - 1)

Lembrando ainda, que a derivada do seno de uma variável é igual ao cosseno dessa variável, e que a derivada do cosseno de uma variável é igual a menos o seno dessa variável. Além da regra básica que determina que a derivada de uma constante sempre é 0.

E relembrando a regra de derivação da soma:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f + g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) + (ⅆ)/(ⅆ x) (g)

Passo 3

Relembrado das regras acima, podemos escrever a expressão da seguinte forma:

((sin (x) + x cos (x)) * (1 + x^2) - x sin (x) * 2 x)/((1 + x^2)^2)

Simplificando:

(sin (x) + x cos (x))/((1 + x^2)) - (2 x^2 sin (x))/((1 + x^2)^2)

Resposta

O resultado dessa derivada é:

(sin (x) + x cos (x))/((1 + x^2)) - (2 x^2 sin (x))/((1 + x^2)^2)