Determinar f'(x) se f(x) é a função que se indica:

9) f(x) = 1 / (2 + cos(x))

Passo 1

O primeiro passo é relembrar a regra de derivação do quociente:

(ⅆ)/(ⅆ x) ((1)/(f)) = - ((ⅆ)/(ⅆ x) (f))/(f^2)

Aplicando-a na nossa equação, temos:

- ((ⅆ)/(ⅆ x) (2 + cos (x)))/((2 + cos (x))^2)

Passo 2

Usando a regra de derivação das somas:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f + g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) + (ⅆ)/(ⅆ x) (g)

Temos:

- ((ⅆ)/(ⅆ x) (2) + (ⅆ)/(ⅆ x) (cos (x)))/((2 + cos (x))^2)

Passo 3

Lembrando das regras de derivação que dispõe que a derivada de uma constante é sempre 0, e que a derivada do cosseno de uma variável é igual à menos o seno dessa variável. Temos:

- (- sin (x))/((2 + cos (x))^2)

Ajeitando os sinais, temos:

(sin (x))/((2 + cos (x))^2)

Resposta

A resposta dessa derivada é:

(sin (x))/((2 + cos (x))^2)