Determinar f'(x) se f(x) é a função que se indica:

7) f(x) = 1 / (x^2 + 1) + x^5 * cos(x)

Passo 1

Antes de começar a desenvolver a expressão, devemos relembrar, a seguinte regra de derivação:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f + g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) + (ⅆ)/(ⅆ x) (g)

Logo, nossa expressão fica:

(ⅆ)/(ⅆ x) ((1)/(x^2 + 1)) + (ⅆ)/(ⅆ x) (x^5 c o s ( x) )

Passo 2

Nesse passo, calcularemos a derivada do quociente, relembrando a seguinte regra de derivação:

(ⅆ)/(ⅆ x) ((1)/(f)) = - ((ⅆ)/(ⅆ x) (f))/(f^2)

aplicando a equação, e simplificando, temos:

- (2 x)/((x^2 + 1)^2)

Passo 3

Nesse ponto, calcularemos a seguinte derivada:

(ⅆ)/(ⅆ x) (x^5 c o s ( x ))

Usando as regras de derivação:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f xx g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) xx g + f xx (ⅆ)/(ⅆ x) (g) ;

(ⅆ)/(ⅆ x) (a xx f) = a xx (ⅆ)/(ⅆ x) (f)

E,

(ⅆ)/(d x) (x^n) = n * x^(n - 1)

Além de:

(ⅆ)/(ⅆ x) (cos (x)) = - sin (x)

Temos que a derivada, fica:

5 x^4 cos (x) + x^5 (- sin (x))

Unindo as expressões encontradas nos passos 2 e 3, e as simplificando, temos:

- (2 x)/((x^2 + 1)^2) + 5 x^4 cos (x) - x^5 (sin (x))

Resposta

O resultado dessa derivação é: - (2 x)/((x^2 + 1)^2) + 5 x^4 cos (x) - x^5 (sin (x))