Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = (x - 2)^2

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x - 2 2

f x = x 2 - 4 x + 4

f ' x = ∂ ∂ x x 2 - 4 x + 4

f ' x = ∂ ∂ x x 2 - ∂ ∂ x 4 x - ∂ ∂ x 4

Lembrando que, para derivar: * ∂ ∂ x B A = A ∙ B A - 1

Então:

f ' x = 2 x - 4 - 0

f ' x = 2 x - 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de máximo ou mínimo da derivada da função, que será o ponto onde a função passa de crescente para decrescente, ou vice versa. Para isso, igualamos sua derivada a zero, e encontramos o valor de x:

f ' x = 0

2 x - 4 = 0

2 x = 4

x = 4 2 = 2

Portanto, no ponto x = 2 a função inverte ser crescimento ou decrescimento.

Vamos verificar agora, para um valor de x > - 2 e x < - 2 , para saber onde ela cresce e decresce.

Passo 4

Adotando x = 1 :

f ' - 3 = 2 1 - 4 = 2 - 4 = - 2

f ' 1 < 0

Logo, a função é decrescente para x < 2 .

Adotando x = 3 :

f ' x = 2 3 - 4 = 6 - 4 = 2

f ' x > 0

Então, a função é crescente para x > 2 .

Resposta

A função tem crescimento no intervalo ] 2   ,     ∞ ] e decrescimento no intervalo [ - ∞ ,   2   [ .

Certinho?

Qualquer dúvida, manda pra gente!