Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = 1 - 4x - x^2

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = 1 - 4 x - x 2

f ' x = ∂ ∂ x 1 - 4 x - x 2

f ' x = ∂ ∂ x 1 - ∂ ∂ x 4 x - ∂ ∂ x x 2

Lembrando que, para derivar: * ∂ ∂ x B A = A ∙ B A - 1

Então:

f ' x = 0 - 4 1 - 2 x

f ' x = - 4 - 2 x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de máximo ou mínimo da derivada da função, que será o ponto onde a função passa de crescente para decrescente, ou vice versa. Para isso, igualamos sua derivada a zero, e encontramos o valor de x:

f ' x = 0

- 4 - 2 x = 0

- 2 x = 4

x = 4 - 2 = - 2

Portanto, no ponto x = - 2 a função inverte ser crescimento ou decrescimento.

Vamos verificar agora, para um valor de x > - 2 e x < - 2 , para saber onde ela cresce e decresce.

Passo 4

Adotando x = - 3 :

f ' - 3 = - 4 - 2 - 3 = - 4 + 6 = 2

f ' - 3 > 0

Logo, a função é crescente para x < - 2 , no intervalo [ - ∞   ,   - 2 [ .

Adotando x = 2 :

f ' x = - 4 - 2 2 = - 4 - 4 = - 8

f ' x < 0

Então, a função é decrescente para x > - 2 , no intervalo ] - 2   ,   ∞ ] .

Resposta

A função tem crescimento no intervalo [ - ∞   ,   - 2 [ e decrescimento no intervalo ] - 2   ,   ∞ ] .

Tranquila essa, né?