Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x * ln(x)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x ∙ ln ⁡ x

Novamente, vamos de regra da cadeia. Lembrando que:

g x h x ' = g ' x h x + g x h ' ( x )

f ' x = ∂ ∂ x x ln ⁡ x + x ∂ ∂ x ( ln ⁡ x )

f ' x = ln ⁡ x + x 1 x

f ' x = ln ⁡ x + 1

Passo 3

Sabemos que o x deve assumir apenas valor maiores que zero, para existir ln ⁡ x , né? Portanto, a raiz será:

f ' x = 0

0 = ln ⁡ x + 1

ln ⁡ x = - 1

e ln ⁡ x = e - 1

x = 1 e

x = 0,3678

Assim, precisaremos analisar o crescimento da função em dois intervalos.

Para o intervalo de ] 0 , 0,3678 [ , adotamos x = 0,2 :

f ' 0,2 = ln ⁡ 0,2 + 1 = - 1,6094 + 1 = - 0,6094

f ' 0,2 < 0

Então, no intervalo 0 < x < 0,3678 , a função será decrescente.

Agora, para x > 0,3678 , adotando x = 1 :

f ' 1 = ln ⁡ 1 + 1 = 0 + 1 = 1

f ' 1 > 0

Então a função é crescente nesse intervalo

Resposta

Então, a função vista será decrescente no intervalo ] 0   ,   0,3678 [ e crescente no intervalo ] 0,3678   , ∞   ] .

Sacou?