Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x / (x^2 - 6x - 16)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x x 2 - 6 x - 16

Dá pra perceber que precisaremos usar a regra da cadeia, né? Onde:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' ( x ) g x 2

Então, fica:

f ' x = ∂ ∂ x x ∙ x 2 - 6 x - 16 - x ∙ ∂ ∂ x ( x 2 - 6 x - 16 ) x 2 - 6 x - 16 2

f ' x = 1 x 2 - 6 x - 16 - x 2 x - 6 x 2 - 6 x - 16 2

f ' x = x 2 - 6 x - 16 - 2 x 2 + 6 x x 2 - 6 x - 16 2

f ' x = - x 2 - 16 x 2 - 6 x - 16 2

f ' x = - x 2 + 16 x - 8 2 x + 2 2

Passo 3

Com a derivada da função obtida, vemos que quando x tende a 8 e a - 2 , ela tende ao infinito, pois zera o denominador. Portanto teremos uma assíntota nesses dois valores de x .

Passo 4

Então, para encontrarmos o ponto crítico da função, onde f ' x = 0 , fazemos:

f ' x = 0

0 = - x 2 + 16 x - 8 2 x + 2 2

0 = - x 2 - 16

x 2 = - 16

x = - 16

Portanto, não há raízes reais que façam a derivada da função ser zero.

Logo não teremos ponto de inflexão.

Passo 5

Vamos então, analisar o comportamento da função, nos intervalos antes, entre e depois das assíntotas:

Para o intervalo [ ∞ ,   - 2 [ , com x = - 3 :

f ' - 3 = - - 3 2 + 16 - 3 - 8 2 - 3 + 2 2 = - 9 + 16 - 11 2 - 1 2 = - 25 121

f ' - 3 < 0

Então a função é decrescente nesse intervalo.

No intervalo ] - 2 ,   8 [ , adotando x = 1 :

f ' 1 = - 1 2 + 16 1 - 8 2 1 + 2 2 = - 1 + 16 - 7 2 3 2 = - 17 49

f ' 1 < 0

Portanto a função é decrescente nesse período também.

E no intervalo ] 8 ,   ∞ ] , com x = 10 :

f ' 10 = - 1 0 2 + 16 1 0 - 8 2 1 0 + 2 2 = - 100 + 16 2 2 12 2 = - 116 576

f ' 10 < 0

Logo, a função também é decrescente nesse intervalo.

Resposta

Como pudemos ver, a função será decrescente para todo valor de x . Havendo duas assíntotas, em x = - 2 e x = 8 .