Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:
Passo 1
Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?
Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.
Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Então, vamos encontrar a derivada da função:
Dá pra perceber que precisaremos usar a regra da cadeia, né? Onde:
Então, fica:
Passo 3
Com a derivada da função obtida, vemos que quando tende a e a , ela tende ao infinito, pois zera o denominador. Portanto teremos uma assíntota nesses dois valores de .
Passo 4
Então, para encontrarmos o ponto crítico da função, onde , fazemos:
Portanto, não há raízes reais que façam a derivada da função ser zero.
Logo não teremos ponto de inflexão.
Passo 5
Vamos então, analisar o comportamento da função, nos intervalos antes, entre e depois das assíntotas:
Para o intervalo , com :
Então a função é decrescente nesse intervalo.
No intervalo , adotando :
Portanto a função é decrescente nesse período também.
E no intervalo , com :
Logo, a função também é decrescente nesse intervalo.
Resposta
Como pudemos ver, a função será decrescente para todo valor de . Havendo duas assíntotas, em e .