Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x^2 (x - 3)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x 2 x - 3

f x = x 3 - 3 x 2

f ' x = ∂ ∂ x x 3 - 3 x 2

f ' x = ∂ ∂ x x 3 - ∂ ∂ x 3 x 2

Lembrando que, para derivar: * ∂ ∂ x B A = A ∙ B A - 1

Então:

f ' x = 3 x 2 - 3 2 x

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de máximo ou mínimo da derivada da função, que será o ponto onde a função passa de crescente para decrescente, ou vice versa. Para isso, igualamos sua derivada a zero, e encontramos o valor de x:

f ' x = 0

3 x 2 - 6 x = 0

Δ = b 2 - 4 a c = - 6 2 - 4 3 0 = 36

x = - b ± Δ 2 a = - - 6 ± 36 ) 2 ∙ 3 = 6 ± 6 6

x 1 = 6 + 6 6 = 2     ,     x 2 = 6 - 6 6 = 0

Temos dois pontos onde a função inverte seu crescimento ou decrescimento, portanto teremos que analisar os três intervalos.

Passo 4

Para o intervalo [ - ∞   ,   0 [ , vamos adotar x = - 3 :

f ' - 3 = 3 ( - 3 ) 2 - 6 - 3 = 27 + 18 = 45

f ' 1 > 0

Logo, a função é crescente para x < - 2 .

Agora, para o intervalo ] - 2   ,     0 [ , vamos adotar x = 1 :

f ' - 1 = 3 ( 1 ) 2 - 6 1 = 3 - 6 = - 3

f ' x < 0

Então, a função é decrescente para 0 < x < 2 .

E no intervalo ] 2   ,   ∞ ] , usemos x = 3 :

f ' 2 = 3 3 2 - 6 3 = 27 - 18 = 9

Logo, a função volta a ser crescente no intervalo ] 2   ,   ∞ ] .

Resposta

Assim, temos que a função é crescente nos intervalos [ - ∞   ,   0 [ e ] 2   ,   ∞ ] , e decrescente no intervalo ] 0   ,   2 [ .

Bem de boa, né?