Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:
Passo 1
Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?
Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.
Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Bora lá! Vamos encontrar a derivada da função:
Com a regra da cadeia, temos que:
e
Então, vamos usar a substituição e aplicar as regras, onde:
Voltando com :
Podemos ver que teremos uma assíntota em .
Passo 3
Podemos ver também, que não existe valor que possa assumir, para que .
Portanto, devemos avaliar o sinal da função antes e depois da assíntota.
Para , com , sendo :
Portanto a função é decrescente nesse intervalo.
Agora, para o intervalo , com , sendo :
Então a função também será decrescente nesse intervalo.
Resposta
Portanto, como pudemos ver, a função será decrescente para todo , havendo uma assíntota para .