Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = 2^(1 / (x - a))

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Bora lá! Vamos encontrar a derivada da função:

f x = 2 1 x - α

f x = 2 x - α - 1

Com a regra da cadeia, temos que:

g h x ' = g ' h x ∙ h ' x

e

∂ ∂ x a x = a x ∙ ln ⁡ a  

Então, vamos usar a substituição e aplicar as regras, onde:

u = x - α

f ' u = ∂ ∂ u 2 u - 1 ∙ ∂ ∂ u u - 1

f ' u = 2 u - 1 ln ⁡ 2 ∙ - 1 u - 2

Voltando com u = ( x - α ) :

f ' x = 2 x - α - 1 ∙ ln ⁡ 2 ∙ - 1 x - α - 2

f ' x = - 2 x - α - 1 ln ⁡ ( 2 ) x - α 2

Podemos ver que teremos uma assíntota em x = α .

Passo 3

Podemos ver também, que não existe valor que x possa assumir, para que f ' x = 0 .

Portanto, devemos avaliar o sinal da função antes e depois da assíntota.

Para [ - ∞ ,   α [ , com x = α - 1 , sendo α ≠ 1 :

f ' α - 1 = - 2 α - 1 - α - 1 ln ⁡ ( 2 ) α - 1 - α 2 = - 2 - 1 - 1 ln ⁡ 2 - 1 2 = - ln ⁡ 2 2 ∙ 1 = - 0,6931 2 = - 0,3465

f ' α - 1 < 0

Portanto a função é decrescente nesse intervalo.

Agora, para o intervalo ] α ,   ∞ ] , com x = α + 1 , sendo α ≠ - 1 :

f ' α + 1 = - 2 α + 1 - α - 1 ln ⁡ 2 α + 1 - α 2 = - 2 1 - 1 ln ⁡ 2 1 2 = - 2 ∙ 0,6931 1 = - 1,3862

f ' α + 1 < 0

Então a função também será decrescente nesse intervalo.

Resposta

Portanto, como pudemos ver, a função será decrescente para todo x , havendo uma assíntota para x = α .