Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:
Passo 1
Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?
Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.
Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Então, vamos encontrar a derivada da função:
Temos uma divisão de duas funções: e .
Lembrando da regra da cadeia, temos que:
Então:
Passo 3
Com a função obtida, vemos que não há valores de que façam ser igual a zero, então há uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 4
As raízes que zeram o denominador são:
Portanto, quando tende a zero, tende ao infinito, pois .
Analisando o valor da derivada no intervalo , adotando :
Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.
Já no intervalor , usando :
Então a função é crescente nesse intervalo.
Resposta
Assim, temos que a função é crescente no intervalo , e decrescente no intervalo .