Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x / (x - 2)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x x - 2

Temos uma divisão de duas funções: g x = x e h x = x - 2 .

Lembrando da regra da cadeia, temos que:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' x g x 2

Então:

f ' x = ∂ ∂ x x x - 2 - x ∂ ∂ x x - 2 x - 2 2

f ' x = 1 x - 2 - x 1 x 2 - 4 x + 4

f ' x = x - 2 - x x 2 - 4 x + 4 = - 2 x 2 - 4 x + 4

Passo 3

Com a função y = - 2 x 2 - 4 x + 4 obtida, vemos que não há valores de x que façam y ser igual a zero, então há uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 4

As raízes que zeram o denominador são:

x 2 - 4 x + 4 = 0

Δ = - 4 2 - 4 1 4 = 0

x = - ( - 4 ) ± 0 2 1 = 4 2 = 2  

Portanto, quando x tende a zero, y tende ao infinito, pois 2 0 = ∞ .

Analisando o valor da derivada no intervalo [ - ∞   ,   2 [ , adotando x = 1 :

f ' 1 = - 2 1 2 - 4 ∙ 1 + 4 = - 2 1 - 4 + 4 = - 2

f ' 1 < 0

Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.

Já no intervalor ] 2   ,   ∞ ] , usando x = 3 :

f ' 3 = - 2 3 2 - 4 ∙ 3 + 4 = 2 9 - 12 + 4 = 2 1 = 2

f ' 3 > 0

Então a função é crescente nesse intervalo.

Resposta

Assim, temos que a função é crescente no intervalo ] 2   ,   ∞ ] , e decrescente no intervalo [ - ∞   ,   2 [ .