Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = 1 / (x - 1)^2

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = 1 x - 1 2

Substituindo ( x - 1 ) por u , para derivar:

f ' x = 1 u 2 = u - 2

f ' x = ∂ ∂ u u - 2

f ' x = - 2 u - 3 = - 2 u 3

Voltando com ( x - 1 ) no lugar de u temos:

f ' x = - 2 x - 1 3

Passo 3

Com a função obtida, vemos que quando x tende a 1, f ' ( x ) tenderá ao infinito, pois:

lim x → 1 ⁡ f ' x = - 2 1 - 1 3 = - 2 0 3 = - ∞

Logo, temos uma assíntota em x = 1 .

Passo 4

Então, vamos analisar o valor da derivada da função no intervalo [ - ∞   ,   1 [ , escolhendo x = 0 :

f ' 0 = - 2 0 - 1 3 = - 2 - 1 3 = - 2 - 1 = 2

f ' x > 0

Então a função será crescente nesse intervalo.

Já no intervalo ] 1   ,   ∞ ] , com x = 2 , temos:

f ' 2 = - 2 2 - 1 3 = - 2 1 3 = - 2

f ' 2 < 0

Logo, a função será decrescente nesse intervalo.

Resposta

Assim, temos que a função é crescente no intervalo [ - ∞   ,   1 [ , e decrescente no intervalo ] 1   ,   ∞ ] .

Bem tranquilo, né? Basta ter atenção e analisar a função com calma.