Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = e^x / x

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Bora lá! Vamos encontrar a derivada da função:

f x = e x x

Com a regra da cadeia, temos que:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Assim teremos:

f ' x = ∂ ∂ x e x x - ( e x ) ∂ ∂ x ( x ) x 2

f ' x = x e x - e x x 2

f ' x = e x ( x - 1 ) x 2

Podemos ver que teremos uma assíntota em x = 0 , onde a função tende ao infinito.

Passo 3

Encontrando as raízes:

f ' x = 0

0 = e x ( x - 1 ) x 2

e x x - 1 = 0

x - 1 = 0

x = 1

Passo 4

Assim, teremos três intervalos a serem analisados.

Para o intervalo [ - ∞   ,   0 [ , adotando x = - 1 :

f ' - 1 = e - 1 - 1 - 1 - 1 2 = - 2 e = - 0,7357

f ' - 1 < 0

Então a função é decrescente nesse intervalo.

No intervalo ] 0   ,   1 [ , com x = 0,5 , temos:

f ' 0,5 = e 0,5 0,5 - 1 0,5 2 = - 0,5 e 0,5 0,5 2 = - e 0,5 0,5 = - 3,2974

f ' 0,5 < 0

Logo, a função também será decrescente nesse intervalo.

Agora, no intervalo [ 1   ,   ∞ ] , adotando x = 2 :

f ' 2 = e 2 2 - 1 2 2 = e 2 4 = 1,8472

f ' 2 > 0

Portanto a função será crescente nesse intervalo.

Resposta

Prontinho! A função será crescente para x > 1 , e decrescente para x < 1 .

Melzinho, né?

Qualquer dúvida, só avisar!