Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = 2 * e^(x^2 - 4x)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Bora lá! Vamos encontrar a derivada da função:

f x = 2 e x 2 - 4 x

E lá vamos nós com a regra da cadeia de novo...

Lembrando que:

g h x ' = g ' h x ∙ h ' x

Logo, teremos:

f ' x = ∂ ∂ x 2 e x 2 - 4 x ∙ ∂ ∂ x x 2 - 4 x

f ' x = 2 e x 2 - 4 x 2 x - 4

Passo 3

Agora que temos a derivada da função, vamos achar as raízes:

f ' x = 0

0 = 2 e x 2 - 4 x 2 x - 4

0 = 2 x 2 e x 2 - 4 x - 4 2 e x 2 - 4 x

8 e x 2 - 4 x = 4 x e x 2 - 4 x

e x 2 - 4 x e x 2 - 4 x 8 4 = x

x = 2  

Então, teremos dois intervalos para analisar, x maior e menor que 2 .

Para x < 2 , adotando x = 1 :

f ' 1 = 2 e 1 2 - 4 1 2 1 - 4 = 2 e 1 - 4 2 - 4 = 2 - 2 e 3 = - 4 e 3 = - 0,1 991

f ' 1 < 0

Então a função é decrescente nesse intervalo.

Já para x > 2 , adotando x = 3 :

f ' 3 = 2 e 3 2 - 4 3 2 3 - 4 = 2 e 9 - 12 6 - 4 = 4 e - 3 = 0,1991

f ' 3 > 0

Portanto a função é crescente para valores maiores que 2 de x .

Resposta

A função será crescente para x < 2 e decrescente para x > 2 .

Molezinha, né?