Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = |x - 3| * raiz(x)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x - 3 x

Dá pra perceber que precisaremos usar a regra da cadeia, né? Onde:

g x h ( x ) ' = g ' x h x + g x h ' ( x )

Então, fica:

f ' x = ∂ ∂ x x - 3 ∙ x 1 2 + x - 3 ∙ ∂ ∂ x x 1 2

f ' x = 1 x + x - 3 1 2 x - 1 2

f ' x = x + 1 2 x 1 - 1 2 - 3 2 x - 1 2

f ' x = x + x 2 - 3 2 x

f ' x = x + x 2 - 3 x 2 x

f ' x = 2 x x + x x - 3 x 2 x

f ' x = 3 x x - 3 x 2 x

f ' x = 3 x 3 2 - 3 x 1 2 2 x

f ' x = 3 x 3 2 2 x - 3 x 1 2 2 x

f ' x = 3 x 3 2 - 1 2 - 3 x 1 2 - 1 2

f ' x = 3 x 1 2 2 - 3 x - 1 2 2

f ' x = 3 x 1 2 2 - 3 2 x 1 2

f ' x = 3 x 2 - 3 2 x  

Passo 3

Para encontrar o zero da função, fazemos:

f ' x = 0

0 = 3 x 2 - 3 2 x

3 2 x = 3 x 2

3 ∙ 2 2 ∙ 3 = x ∙ x

1 = x

Vale lembrar que, no caso de x = 0 , - 3 2 x = - 3 2 ∙ 0 = - ∞ , portanto temos uma assíntota para esse valor, e não temos valores de x negativos, pois assim não teríamos soluções reais.

Passo 4

Então, vamos analisar o valor da derivada da função no intervalo ] 0   ,   1 [ , escolhendo x = 0 , 5 :

f ' 0 , 5 = 3 0,04 2 - 3 2 0,04 = 3 ∙ 0,2 2 - 3 2 ∙ 0,2 = 0,3 - 7,2 = - 6,9

f ' 0,5 < 0

Então a função será decrescente nesse intervalo.

Já no intervalo ] 1   ,   ∞ ] , com x = 4 , temos:

f ' 4 = 3 4 2 - 3 2 4 = 3 ∙ 2 2 - 3 2 ∙ 2 = 6 2 - 3 4 = 12 - 2 4 = 10 4 = 2,5

f ' 4 > 0

Logo, a função será crescente nesse intervalo.

Resposta

Prontinho! Nossa função terá apenas valores de x > 0 , e será crescente no intervalo ] 1   ,   ∞ ] e decrescente no intervalo ] 0   ,   1 [ .

Essa deu um trabalhinho, mas é apenas para desenvolver os cálculos. Se ficar atento com os termos direitinho é sucesso!