Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x + 4 3

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x + 4 3

f x = x + 4 x + 4 x + 4

f x = x 2 + 8 x + 16 x + 4

f x = x 3 + 4 x 2 + 8 x 2 + 32 x + 16 x + 64

f x = x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64

f ' x = ∂ ∂ x x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64

f ' x = ∂ ∂ x x 3 + ∂ ∂ x 12 x 2 + ∂ ∂ x 4 8 x + ∂ ∂ x 6 4

Lembrando que, para derivar: * ∂ ∂ x B A = A ∙ B A - 1

Então:

f ' x = 3 x 2 + 24 x + 48 + 0

f ' x = 3 x 2 + 24 x + 48

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de máximo ou mínimo da derivada da função, que será o ponto onde a função passa de crescente para decrescente, ou vice versa. Para isso, igualamos sua derivada a zero, e encontramos o valor de x:

f ' x = 0

3 x 2 + 24 x + 48 = 0

Δ = b 2 - 4 a c = 24 2 - 4 3 48 = 576 - 576 = 0

x = - b ± Δ 2 a = - 24 ± 0 ) 2 ∙ 3 = - 24 6 = - 4

Portanto, no ponto x = - 4 a função inverte seu crescimento ou decrescimento.

Vamos verificar agora, para um valor de x > - 4 e x < - 4 , para saber onde ela cresce e decresce.

Passo 4

Adotando x = 1 :

f ' 1 = 3 1 2 + 24 1 + 48 = 3 + 24 + 48 = 75

f ' 1 > 0

Logo, a função é crescente para x > - 4 .

Adotando x = - 5 :

f ' - 5 = 3 - 5 2 + 24 - 5 + 48 = 75 - 120 + 48 = 8

f ' x > 0

Então, a função também é crescente para x > - 4 .

Resposta

Logo, a função é crescente em toda a curva, pois suas derivadas são sempre positivas em qualquer ponto.

Podemos confirmar vendo o gráfico da função.

Deu certo aí também? Alguma dúvida?