Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x / 3 - raiz(x, 3)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x 3 - x 3

f x = 1 3 x - ( x 1 3 )

Essa é bem tranquila, quer ver?

f ' x = 1 3 ∂ ∂ x x - ∂ ∂ x ( x 1 3 )

f ' x = 1 3 1 - 1 3 x 1 3 - 1

f ' x = 1 3 - 1 3 x - 2 3

f ' x = 1 3 - 1 3 x 2 3

Passo 3

Já deu pra perceber que a derivada tem uma assíntota em x = 0 , né? Pois assim, y tenderia ao infinito negativo.

Encontrando as raízes então:

f ' x = 0

0 = 1 3 - 1 3 x 2 3

1 3 x 2 3 = 1 3

3 3 = x 2 3

x 2 = 1 3

x = ± 1

Então teremos quatro intervalos para analisar. Em x < - 1 , em - 1 < x < 0 , em 0 < x < 1 e em x > 1 . Então:

Em - ∞ ≤ x < - 1 , com x = - 2 , temos:

f ' - 2 = 1 3 - 1 3 - 2 2 3 = 1 3 - 1 3 1,58 = 4,74 - 1 4,74 = 0,789

f ' - 2 > 0

Logo, a função é crescente nesse intervalo.

Em - 1 < x < 0 , com x = - 0,5 :

f ' - 0,5 = 1 3 - 1 3 - 0,5 2 3 = 1 3 - 1 3 0,629 = - 0,1958

f ' - 0,5 < 0

Então a função será decrescente nesse intervalo.

Em 0 < x < 1 , com x = 0,5 :

f ' 0,5 = 1 3 - 1 3 0,5 2 3 = 1 3 - 1 3 0,629 = - 0,1958

f ' 0,5 < 0

Logo, a função continua decrescente nesse intervalo.

E, finalmente, para x > 1 , com x = 2 :

f ' 2 = 1 3 - 1 3 2 2 3 = 1 3 - 1 3 1,58 = 4,74 - 1 4,74 = 0,789

f ' 2 > 0

Logo, a função é crescente nesse intervalo.

Resposta

Pronto! Sabemos que nossa função será crescente para x < 1 e x > 1 , e decrescente no intervalo ] - 1   ,     1   [ .