Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = arcsen(1 + x)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = arcsen ⁡ ( 1 + x )

Lembrando um pouco das derivadas de funções inversas, temos que:

∂ ∂ x arcsen ⁡ u = 1 1 - u 2 ∙ ∂ u ∂ x  

Então:

f ' x = 1 1 - 1 + x 2 ∙ ∂ ∂ x ( 1 + x )

f ' x = 1 1 - 1 + 2 x + x 2

f ' x = 1 1 - 1 - 2 x - x 2

f ' x = 1 - 2 x - x 2

Como podemos ver, não existe valor de x que faça a derivada valer zero. Portanto f ' ( x ) não intercepta o eixo x .

Passo 3

Lembrando as propriedades das funções trigonométricas inversas:

y = arcsen ⁡ ( 1 + x )     ↔ 1 + x = sen ⁡ y

Como já sabemos, o seno pode assumir valores entre - 1 e 1 .

Então, o x poderá valer:

sen ⁡ y = 1

1 + x = 1

x = 1 - 1

x = 0

sen ⁡ y = - 1

1 + x = - 1

x = - 1 - 1

x = - 2

Então, já que a função não terá ponto de inflexão, vamos avaliar seu único intervalo [ - 2   ,   0 ] , para saber se é crescente ou decrescente.

Atribuindo x = - 1 :

f ' - 1 = 1 - 2 - 1 - - 1 2 = 1 2 - 1 = 1 1 = 1 1 = 1

f ' - 1 > 0

Portanto, a função é crescente nesse intervalo.

Resposta

Com as propriedades das funções trigonométricas inversas, pudemos ver que x só poderia assumir valores entre - 2 e 0 . E nesse intervalo, a função é crescente!