Determinar os intervalos de decrescimento e crescimento das funções:

y = x + sen(x)

Passo 1

Salve galerinha, tudo beleza? Bora praticar um pouco de derivada de funções?

Então, nessa questão, precisamos determinar onde a curva cresce e decresce.

Nós sabemos que isso está relacionado com a derivada da função em determinado ponto ou intervalo. Quando a derivada é positiva, a reta é crescente, e quando é negativa, é decrescente. E será zero, sua derivada, nos pontos de máximo ou mínimo.

f ' x > 0 → c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e   n o   i n t e r v a l o

f ' x = 0 → p o n t o   d e   m í n i m o   o u   m á x i m o

Passo 2

Então, vamos encontrar a derivada da função:

f x = x + sen ⁡ x

f ' x = ∂ ∂ x x + ∂ ∂ x ( sen ⁡ x )

f ' x = 1 + cos ⁡ x

Passo 3

Já deu pra perceber que a derivada tem uma assíntota em x = 0 , né? Pois assim, y tenderia ao infinito negativo.

Encontrando as raízes então:

f ' x = 0

0 = 1 + cos ⁡ x

cos ⁡ x = - 1

x = π + 2 π n   ,     p a r a     n ∈ Z

Como já sabemos, o cosseno oscila de - 1 a 1 , sendo que irá valer - 1 (a raíz) quando x = ± π , e a cada volta ± 2 π n somada a esse valor.

Portanto, no intervalo de ] 0 , π [ , adotamos x = π 2 :

f ' π 2 = 1 + cos ⁡ π 2 = 1 + 0 = 1

f ' π 2 > 0

Então, em todo intervalo 0 < x + 2 π n < π , a função será crescente.

Como o menor que o cosseno pode atingir é - 1 , a derivada da função oscilará de 0 (onde é um ponto de inflexão) até 2 . Portanto, a função é sempre crescente.

Vamos conferir, adotando x = 3 π 2 , para o intervalo π < x + 2 π n < 2 π :

f ' 3 π 2 = 1 + cos ⁡ 3 π 2 = 1 + 0 = 1

f ' 3 π 2 > 0

Resposta

Então, como comprovamos, a função é sempre crescente em todo domínio real.

Dá uma olhadinha no gráfico da função, a seguir. Observe nos valores onde a derivada teria valor igual a zero(ponto de inflexão).